何をやっても眠れなかった。
文法的には、主節が “I couldn’t fall asleep” で、従属節が “No matter what I did” です。この従属節は、what 節と呼ばれる不定詞節で、主節の “I couldn’t fall asleep” を修飾しています。
“No matter” は接続詞で、否定文を表します。「どのような試みをしても…」と後に続く主節の試みを否定している。”what” は代名詞で、何か不特定のことを指します。
“couldn’t” は過去形の “can’t”（”cannot”）の否定形で、能力不足や出来なかったことを表します。
“fall” は動詞で、落ちる、倒れる、降りるなどの意味があります。
“asleep” は形容詞で、眠っている状態を表します。